数学専攻【～2023年度】

2つ以上の変数についての積分を考察します。これは平面図形の面積や立体図形の体積を求める問題と密接に関連しています。面積や体積とは何かを正確に定義することから始めて、積分の意味を深く考えながら一般的な計算法を導きます。

人口増加、生存競争、振動などの現象を単純化して数式で表したものを数理モデルといい、多くの場合、未知関数とその導関数の間の関係式、すなわち微分方程式になります。微分方程式の初歩的な理論を体系的に学び、微分方程式を用いた数理モデルを解析します。

数学だけではなく理工学への応用上も重要な複素数の関数の微分と積分について、基礎的な事項を学びます。実数の世界で考えてきた多項式、指数関数、三角関数などのおなじみの関数とその微積分を複素数の世界で考えます。適宜問題演習を行いながら講義します。

ベクトル空間と線形写像という抽象的概念を理解し、ベクトルの一次独立性や基底、次元の概念、線形写像の行列による表現を学びます。その応用として行列を対角化する方法を修得することを目標とします。

私たちにとって身近な存在である整数を一般化・抽象化したものが環の概念です。整数における素因数分解はイデアルの概念により一般の環にも拡張することができます。環論を入口として、代数系の基礎全般を学びます。

情報伝達において生じる誤りを検知・修正するための数学的技法の集大成は符号理論と呼ばれ、1年次で学ぶ線形代数が随所で応用されます。この授業では、具体的な符号による誤り修正の実践から始めて、代数的符号理論における話題を解説します。

例えば、ドーナツとコーヒーカップを同じと見るような「やわらかな幾何学」である位相幾何学の基礎となる位相空間について学びます。近いか遠いかを測る距離という具体的な概念のかわりに、「位相」という抽象的な概念を用いて空間のいろいろな性質を調べます。

中学・高校で学ぶ平面幾何では、図形は形や大きさなどの「見た目」が重要でしたが、一方で「柔らかく変形しても」変わらない量を調べるのがトポロジー（位相幾何学）です。この授業では、身近にある簡単な図形を対象として、トポロジーの入門講義を行います。

3次元空間内の閉じた曲線を結び目といい、この「図形」を対象として、トポロジー（位相幾何学）の立場から研究する幾何学の分野を結び目理論といいます。この授業では、結び目理論の入門講義として、数学的な取り扱いの方法と研究手法について詳しく解説します。

統計学の基本的手法である推定と検定の初歩について、数理統計学の立場から学びます。そのために、ランダム・サンプリングを独立同分布の確率変数の列としてモデル化し、統計学を確率論の枠内に取り入れます。また実際のデータを使った計算も行います。