理学研究科 数学専攻 博士後期課程

対称性の高い組合せ幾何構造をその自己同形群との関連から研究するために、その基本手段を、典型例の解析を通じて学びます。さらに、近年注目を集めている組合せ幾何構造を解析し、その自己同形群の構造を決定します。

位相幾何学のうち、結び目の幾何学的側面、Conway 多項式、 Conway-Gordon, Sachs の定理、空間グラフが含んでいる絡み目のサイズの問題、Dehnの手術理論による３次元多様体の構成について解説します。さらに、最近特に研究されている Vassiliev不変量の定義、応用について述べ、空間グラフの鏡像対称の問題、グラフの自己同形群の空間実現性、３次元多様体の話題に関して解説します。

微分方程式や関数空間などの解析的な対象を研究する手段として、特異積分作用素や最大関数などの実関数論的な手法、またはコホモロジー理論や非可換環上のフィルター加群などの代数解析的な手法を導入し、解説します。さらに、実関数論的手法または代数解析的手法を具体的な微分方程式や関数空間に適用して得られる最近の成果について解説します。

ブラウン運動やレヴィ過程に基づく確率解析の中で、確率微分方程式の解およびその分布が持つ性質について解説を行います。さらに、さまざまな現象のモデル化に応用し、得られる最近の成果について解説します。

素粒子の標準模型を超える理論について掘り下げた理解を実現することを目標とします。特に、3次元空間以外に余剰次元を持つ高次元の時空間上のゲージ理論について、ゲージ群としてのLie群の構造、余剰次元の多様体の複素構造によるCP対称性の破れ、オービフォールドを用いたフレーバー構造の導出、といった論点を採り上げ、理論の基礎的事柄の紹介に留まらず、最先端の話題に関しても触れながら新理論に関する深い理解を得ることを目指します。

数値線形代数に現れる線形問題の直接解法及び反復解法を学び、その際の誤差解析を扱います。また、そのための行列解析の必要部分も補います。また、単独・連立非線形方程式、代数方程式の反復解法を扱います。次に、補間多項式、直交多項式、収束の加速法などの準備を行った後、数値積分を扱います。また、ベイズ理論に基づいた統一的な視点から、機械学習とパターン認識に関する様々な理論や手法を学びます。さらに、これらの手法の応用として、ネットワークシステムやロボットシステムへの適用方法を考察します。